ЕГЭ онлайн > Математика > Вариант 1 > Результаты

По определению |sin x| ≤ 1. Если |sin x| = 1` `, то правая часть уравнения не существует, т.к. в этом случае не определен tg x. Элементарная подстановка показывает, что sin x = 0 также не является решением: 1`!=`4. Во всех остальных случаях, в числителе и знаменателе левой части уравнения имеем суммы бесконечно убывающих геометрических прогрессий с параметрами:

`b_(1) = 1, q = sinx` - для числителя;

`b_(1) = 1, q = -sinx` - длязнаменаиеля;

Воспользовавшись формулой суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии, перепишем исходное уравнение в виде

`((1)/(1-sinx))/((1)/(1+sinx))=(4)/(1+tg^(2)x)`

Воспользовавшись определением тангенса, преобразуем правую часть:

`(1+sinx)/(1-sinx)=4cos^(2)x`

По основному тригонометрическому тождеству

`(1+sinx)/(1-sinx)=4(1-sin^(2)x)`

Для правой части используем формулу разности квадратов, знаменатель левой части перенесём в правую множителем:

`1+sinx = 4(1-sinx)^(2)(1+sinx)`.

Перенесём всё в левую часть и вынесем общий множитель за скобки:

`1+sinx - 4(1-sinx)^(2)(1+sinx)=0`

`(1+sinx)(1-4(1-sinx)^(2))=0`

Учитывая, что |sin x|≠1, первый множитель можно не рассматривать

`1-4(1-sinx)^(2) = 0`

Откуда `sin x = 1/2`; `x=(-1)^(n)pi/6+pin, ninZ`

Ответ:

`x=(-1)^(n)pi/6+pin, ninZ`

Пусть `r` – искомый радиус внутренней сферы. Обозначим центр первой сферы – середину ребра `AD` – точкой `O`; центр искомой сферы – точкой `O_(1)`; точку касания внутренней (искомой) сферы плоскости `ADD_(1)A_(1) `как `O_(2).` Точка взаимного касания сфер лежит внутри куба на отрезке `OO_(1)`. Треугольник `OO_(1)O_(2)` является прямоугольным с прямым углом `O_(2)` – радиус сферы, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной плоскости.

На рисунке показана проекция объектов на плоскость `ADD_(1)A_(1)`. Сферы касаются в пространстве, но проекции их пересекаются.

Катет `OO_(2)`, лежащий в плоскости чертежа, находится по теореме Пифагора (необходимо опустить перпендикуляры из точки `O_(2)` на все рёбра, кроме `DD_(1)`):

`OO_(2)^(2)=(1/2 - r)^(2) + (1-r)^(2).`

Тогда теорема Пифанора для треугольника `OO_(1)O_(2)` будет записана в виде:

`(1/2 - r)^(2) + (1-r)^(2) + r^(2) = (1/2 + r)^(2)`.

Преобразуя данное выражение, получим квадратное уравнение относительно искомого радиуса:

`2r^(2)-4r+1=0,`

решением которого является `r_(1,2)=1+-sqrt(2)/2.` Необходимо выбрать меньший корень, т.к. по условию задачи искомая сфера лежит внутри куба.

Ответ: ` r_(1,2) = 1 - sqrt(2)/2`

Выразим z из первого уравнения и подставим во второе.

`z=1-(x+y)`

`z^(2)=1-2x-2y+2xy+x^(2)+y^(2)`

`2xy-1+2x+2y-2xy-x^(2)-y^(2)=1`

`x^(2)+y^(2)-2x-2y+2=0`

Выделим полные квадраты, используя формулу квадрата разности:

`(x-1)^(2)+(y-1)^(2)=0`

Сумма двух неотрицательных величин равна нулю, если обе величины равны нулю, таким образом: x = y = 1. Из первого уравнения системы следует, что z = -1.

Ответ: (1; 1; -1)

Поскольку в данный четырёхугольник вписана окружность, для него должно выполняться равенство AB+CD = BC+AD. Следовательно, AD =3. Продолжим стороны BC и AD до их пересечения в точке М. Поскольку окружность вписана в исходный четырёхугольник, она окажется также вписана в треугольник MCD. Поскольку точка касания делит отрезок AB пополам, то несложно показать, что треугольник MAB окажется равнобедренным с основанием AB. Обозначив МА = МВ = х, `/_`АМВ = α , запишем выражения для теоремы косинусов для треугольников MCD и MAB:

`5^(2)=(x+3)^(2) + (x+4)^(2)-2(x+3)(x+4)cosa`

`2^(2)=2x^(2)-2x^(2)cosa`

Выражая косинус из второго уравнения, подставляя в первое и проводя преобразования, получим квадратное уравнение относительно x:

`5x^(2)-7x-12=0.`

Естественно, следует выбрать положительный корень х = 2,4. С одной стороны, площадь треугольника может быть вычислена по формуле Герона, а с другой – через полупериметр (р = 8,4) и искомый радиус вписанной окружности. Тогда:

`r=S/p=sqrt(((p-(BC+x))(p-CD)(p-(AD+x)))/(p))=sqrt(17/7)`

Ответ: `r=sqrt(17/7)`

Используя свойства логарифмов, преобразуем исходное выражение к виду:

`log_(3)(sqrt(a+4)-x)-log_(3)(x-a-1)=log_(3)2`

Выражение, стоящее под знаком радикала, должно быть неотрицательно, а выражения стоящие под знаком логарифма – положительны, т.е.:

`a+4 >= 0 hArr sqrt(a+4) > x`

`sqrt(a+4)-x > 0 hArr sqrt(a+4) > x`

`x-a-1>0 hArr x> a+1`

Связывая два последних неравенства через x, получаем неравенство относительно a:

`sqrt(a+4) > x > a+1`

`sqrt(a+4) > a+1`

Данное неравенство сводится к системе неравенств:

`a-4>(a+1)^(2)`  при `a>=-1`

`-1 <= a < (sqrt(13)-1)/(2)`   – для неотрицательной правой части;

`a-4> -(a+1)^(2)`  при `a in [-4;-1)`

`-4 <= a < -1`   – для отрицательной правой части.

Эти решения следует объединить, и, окончательно:

`a in [-4; (sqrt(13)-1)/(2))`

Обозначим за X – размер заказа, v – скорость работы (производительность) мастера, u – производительность ученика. Запишем условия задачи в виде математических соотношений:

(1) `v>18, v in N` – мастер делает за час времени целое число деталей, большее, чем 18;

(2) `u = v - 10` – ученик на 10 деталей меньше;

(3) `X/v - X/3u = 2` – мастер справится с заказом на 2 часа медленнее троих учеников.

Подставляя выражение (2) в выражение (3), и, проведя соответствующие преобразования, выразим величину заказа через производительность мастера:

(4) ` X = (3v(v-10))/(v-15)`

Выразим также время, которое потратил бы мастер на выполнение заказа в одиночку:

(5) `X/v = (3(v-10))/(v-15)=3+(15)/(v-15)`

По условию задачи мастер выполняет заказ за целое число часов. Это условие выполнится, если дробная часть выражения (5) разделится нацело. Принимая во внимание условие (1), таких возможностей только две: v = 20, v = 30. Несложно убедится, что при обоих этих значениях, выражение (4) даёт одинаковый результат, который и будет являться ответом в задаче: Х = 120.